ガンマ分布

ガンマ分布は非負連続値データを記述する確率分布として用いられる。 箕谷(1998)では，ガンマ分布の密度関数は次式で表されている． \[ f(y)=\frac{1}{\theta^{\nu} \Gamma(\nu)}y^{\nu-1}e^{-\frac{y}{\theta}}, \quad y>0 \] ここで，\(\nu\)は形状パラメーター，\(\theta\)は尺度パラメーターである． このとき，期待値と分散は次式で与えられる． \[ E(Y)=\nu \theta, \quad V(Y)=\nu \theta^2． \] Faraway (2005）は，平均パラメーター\(\mu(=\nu \theta)\)と形状パラメーター\(\nu\)を用いてガンマ分布の密度関数を定式化している． 上式に\(\theta=\mu/\nu\)を代入することで次式を得る． \[ f(y)=\frac{1}{\Gamma(\nu)}\left( \frac{\nu}\mu{} \right)^{\nu}y^{\nu-1}e^{-\frac{\nu}{\mu}y}, \quad y>0 \] このとき， \[ E(Y)=\mu, \quad V(Y)=\mu^2/\nu = \mu^2 \phi \]

一般化線形モデルを扱うRのglm関数におけるガンマ回帰では、\(\mu\)と\(\phi\)をパラメーターとしている。